Question

某風景區(qū)在一個直徑AB為100米的半圓形花園中設(shè)計一條觀光線路（如圖所示）．在點A與圓弧上的一點C之間設(shè)計為直線段小路，在路的兩側(cè)邊緣種植綠化帶；從點C到點B設(shè)計為沿弧的弧形小路，在路的一側(cè)邊緣種植綠化帶．（注：小路及綠化帶的寬度忽略不計）
（1）設(shè)∠BAC=θ（弧度），將綠化帶總長度表示為θ的函數(shù)S（θ）；
（2）試確定θ的值，使得綠化帶總長度最大．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)結(jié)合弧長公式，可將綠化帶總長度表示為θ的函數(shù)S（θ）；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可確定θ的值，使得綠化帶總長度最大．

解答：解：（1）由題意，AC=100cosθ，直徑AB為100米，
∴半徑為50米，圓心角為2θ，∴

BC

=100θ，
∴綠化帶總長度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，

π

2

）；
（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，
∴S′（θ）=-200sinθ+100，
令S′（θ）=0，可得θ=

π

6

．
函數(shù)在（0，

π

6

）上單調(diào)遞增，在（

π

6

，

π

2

）上單調(diào)遞減，
∴θ=

π

6

時，綠化帶總長度最大．

點評：利用導(dǎo)數(shù)可以解決實際問題中的最值問題，關(guān)鍵是確定函數(shù)解析式，正確運用導(dǎo)數(shù)工具，確定函數(shù)的單調(diào)性．