Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BC=BB₁．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）試在棱CC₁上找一點(diǎn)M，使MB⊥AB₁．

Answer 1

分析：（1）證明：連接A₁B，交AB₁于點(diǎn)O，連接OD．因?yàn)镺、D分別是A₁B、BC的中點(diǎn)，所以A₁C∥OD． 所以A₁C∥平面AB₁D． 
（2）由題意得：四邊形BCC₁B₁是正方形．因?yàn)镸為CC₁的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，所以△B₁BD≌△BCM，所以∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB．所以BM⊥B₁D．  因?yàn)椤鰽BC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC．因?yàn)锳D⊥平面BB₁C₁C．且BM?平面BB₁C₁C，所以AD⊥BM．利用線面垂直的判定定理可得BM⊥平面AB₁D．

解答：證明：（1）連接A₁B，交AB₁于點(diǎn)O，連接OD．
∵O、D分別是A₁B、BC的中點(diǎn)，
∴A₁C∥OD．             
∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．       
（2）M為CC₁的中點(diǎn)．           
證明如下：
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，∴四邊形BCC₁B₁是正方形．
∵M(jìn)為CC₁的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，∴△B₁BD≌△BCM，
∴∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB．
又∵∠BB1D+∠BDB1=

π

2

，∠CBM+∠BDB1=

π

2

，∴BM⊥B₁D．                      
∵△ABC是正三角形，D是BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C．
∵BM?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BM．                                           
∵AD∩B₁D=D，
∴BM⊥平面AB₁D．
∵AB₁?平面AB₁D，
∴MB⊥AB₁．

點(diǎn)評(píng)：證明線面平行關(guān)鍵是在面內(nèi)找到與已知直線平行的直線即可，解決探索性找點(diǎn)問(wèn)題一般用檢驗(yàn)的方法先檢驗(yàn)線段的端點(diǎn)與中點(diǎn)再證明即可，也可以利用空間向量來(lái)解決這種探索性問(wèn)題．