Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是BC的中點，BC=BB₁．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）試在棱CC₁上找一點M，使MB⊥AB₁．

Answer 1

分析：（1）證明：連接A₁B，交AB₁于點O，連接OD．因為O、D分別是A₁B、BC的中點，所以A₁C∥OD． 所以A₁C∥平面AB₁D． 
（2）由題意得：四邊形BCC₁B₁是正方形．因為M為CC₁的中點，D是BC的中點，所以△B₁BD≌△BCM，所以∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB．所以BM⊥B₁D．  因為△ABC是正三角形，D是BC的中點，所以AD⊥BC．因為AD⊥平面BB₁C₁C．且BM?平面BB₁C₁C，所以AD⊥BM．利用線面垂直的判定定理可得BM⊥平面AB₁D．

解答：證明：（1）連接A₁B，交AB₁于點O，連接OD．
∵O、D分別是A₁B、BC的中點，
∴A₁C∥OD．             
∵A₁C?平面AB₁D，OD?平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．       
（2）M為CC₁的中點．           
證明如下：
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=BB₁，∴四邊形BCC₁B₁是正方形．
∵M為CC₁的中點，D是BC的中點，∴△B₁BD≌△BCM，
∴∠BB₁D=∠CBM，∠BDB₁=∠CMB．
又∵∠BB1D+∠BDB1=

π

2

，∠CBM+∠BDB1=

π

2

，∴BM⊥B₁D．                      
∵△ABC是正三角形，D是BC的中點，
∴AD⊥BC．
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC，AD?平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C．
∵BM?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BM．                                           
∵AD∩B₁D=D，
∴BM⊥平面AB₁D．
∵AB₁?平面AB₁D，
∴MB⊥AB₁．

點評：證明線面平行關(guān)鍵是在面內(nèi)找到與已知直線平行的直線即可，解決探索性找點問題一般用檢驗的方法先檢驗線段的端點與中點再證明即可，也可以利用空間向量來解決這種探索性問題．