Question

(本題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=x³+ax²+(a+6)x+b(a,b∈R).

(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3，求a,b的值；

(2) 若f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由函數(shù)f(x)的圖象過原點，得b=0, ………………………………1分

又f′(x)=3x²+2ax+(a+6), …………………………………………………3分

f(x)在原點處的切線斜率是3，則a+6=3,所以a=-3. ………………………6分

（2）若f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則f′(x) 在R上恒成立.

即3x²+2ax+(a+6)≥0在R上恒成立，………………………………………8分

因此Δ≤0，有4a²-12(a+6) ≤0    ………………………………………10分

即a²-3a-18 ≤0解得……………………………………………12分

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點P（1，2）與函數(shù)圖象在點P處的切線斜率為8，建立關(guān)于a和b的方程組，解之即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x），f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù)則令f'（x）0即可求出a的范圍．

考點：本試題主要考查了導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，以及利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于基礎(chǔ)題。

點評：解決該試題的關(guān)鍵對于導數(shù)幾何意義的運用和單調(diào)遞增時要滿足到導函數(shù)恒大于等于零來得到。