設(shè)n∈N*,圓Cn:x2+y2=
R2n
(Rn>0)與y軸正半軸的交點為M,與曲線y=
x
的交點為N(
1
n
yn
),直線MN與x軸的交點為A(an,0).
(1)用n表示Rn和an;
(2)求證:an>an+1>2;
(3)設(shè)Sn=a1+a2+a3+…+an,Tn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,求證:
7
5
Sn-2n
Tn
3
2
(1)∵N(
1
n
,yn
)在曲線y=
x
上,∴N(
1
n
1
n

代入圓Cn:x2+y2=
R2n
,可得Rn=
n+1
n
,∴M(0,
n+1
n

∵直線MN與x軸的交點為A(an,0).
1
n
-0
1
n
-an
=
1
n
-
n+1
n
1
n
-0

an=1+
1
n
+
1+
1
n

(2)證明:∵1+
1
n+1
>1
1+
1
n+1
>1

an+1=1+
1
n+1
+
1+
1
n+1
>2
1+
1
n
1+
1
n+1
,
1+
1
n
1+
1
n+1

an=1+
1
n
+
1+
1
n
1+
1
n+1
+
1+
1
n+1

∴an>an+1>2;
(3)證明:先證當0≤x≤1時,1+(
2
-1)x≤
1+x
≤1+
x
2

事實上,1+(
2
-1)x≤
1+x
≤1+
x
2
等價于[1+(
2
-1)x]2≤1+x≤(1+
x
2
)2

等價于1+2(
2
-1)x+(3-2
2
)x2
≤1+x≤1+x+
x2
4

等價于(2
2
-3)x+(3-2
2
)x2
≤0≤
x2
4

后一個不等式顯然成立,前一個不等式等價于x2-x≤0,即0≤x≤1
∴當0≤x≤1時,1+(
2
-1)x≤
1+x
≤1+
x
2

1+(
2
-1)×
1
n
1+
1
n
<1+
1
2n

2+
2
×
1
n
≤a
n
=1+
1
n
+
1+
1
n
<2+
3
2n
(等號僅在n=1時成立)
求和得2n+
2
×TnSn<2n+
3
2
Tn

7
5
Sn-2n
Tn
3
2
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•佛山一模)設(shè)n∈N*,圓Cn:x2+y2=
R
2
n
(Rn>0)與y軸正半軸的交點為M,與曲線y=
x
的交點為N(
1
n
,yn
),直線MN與x軸的交點為A(an,0).
(1)用n表示Rn和an;
(2)求證:an>an+1>2;
(3)設(shè)Sn=a1+a2+a3+…+an,Tn=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
,求證:
7
5
Sn-2n
Tn
3
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•佛山一模)設(shè)n∈N+,圓Cn:x2+y2=R
 
2
n
(Rn>0)與y軸正半軸的交點為M,與曲線y=
x
的交點為N(xn,yn),直線MN與x軸的交點為A(an,0).
(1)用xn表示Rn和an;
(2)若數(shù)列{xn}滿足:xn+1=4xn+3,x1=3.
①求常數(shù)P的值使數(shù)列{an+1-p•an}成等比數(shù)列;
②比較an與2•3n的大。

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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年廣東省珠海市紅旗中學高三(上)12月月考數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

設(shè)n∈N*,圓Cn:x2+y2=(Rn>0)與y軸正半軸的交點為M,與曲線的交點為N(),直線MN與x軸的交點為A(an,0).
(1)用n表示Rn和an;
(2)求證:an>an+1>2;
(3)設(shè)Sn=a1+a2+a3+…+an,Tn=,求證:

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科目:高中數(shù)學 來源:2012年廣東省佛山市高考數(shù)學一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)n∈N+,圓Cn:x2+y2=R(Rn>0)與y軸正半軸的交點為M,與曲線y=的交點為N(xn,yn),直線MN與x軸的交點為A(an,0).
(1)用xn表示Rn和an;
(2)若數(shù)列{xn}滿足:xn+1=4xn+3,x1=3.
①求常數(shù)P的值使數(shù)列{an+1-p•an}成等比數(shù)列;
②比較an與2•3n的大小.

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