Question

10．如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)于任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱f（x）為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：
①y=-x³+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e^x+1；④f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{lnx（{x≥1}）}\\{0（{x＜1}）}\end{array}}$，其中“H函數(shù)”的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A． 3個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 1個(gè)
• D． 0個(gè)

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≥0，即滿足條件的函數(shù)為不減函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：∵對(duì)于任意給定的不等實(shí)數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）≥x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價(jià)為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]≥0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的不減函數(shù)（即無(wú)遞減區(qū)間）．
①函數(shù)y=-x³+x+1，則y′=-2x²+1，在在[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]函數(shù)為減函數(shù)．不滿足條件．
②y=3x-2（sinx-cosx），y′=3-2cosx+2sinx=3+2（sinx-cosx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．
③y=e^x+1是定義在R上的增函數(shù)，滿足條件．
④f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{lnx（{x≥1}）}\\{0（{x＜1}）}\end{array}}$，x≥1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，滿足條件．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．