按要求證明下列各題．
（1）已知a1+a2+a3+a4＞100，用反證法證明a1，a2，a3，a4中，至少有一個數(shù)大于25；
（2）已知a，b是不相等的正數(shù)．用分析法證明a3+b3＞a2b+ab2．

證明：（1）假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于25，…（2分）
那么，a1+a2+a3+a4≤25+25+25+25=100，這與已知條件矛盾．
所以，a1，a2，a3，a4中，至少有一個數(shù)大于25． …（6分）
（2）要證明a3+b3＞a2b+ab2，只需證明（a+b）（a2-ab+b2）＞ab（a+b），
只需證明（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a+b）＞0，
只需證明（a+b）（a2-2ab+b2）＞0，
只需證明（a+b）（a-b）2＞0．…（11分）
∵a，b是不相等的正數(shù)，∴a+b＞0，（a-b）2＞0成立，…（13分）
這樣，就證明了命題的結(jié)論成立．…（15分）
分析：（1）假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于25，則得a1+a2+a3+a4≤25+25+25+25=100，這與已知條件矛盾，故假設(shè)不對．
故要證的結(jié)論成立．
（2）要證明不等式成立，只需證明（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a+b）＞0，即證（a+b）（a-b）2＞0，由a，b是不相等的正數(shù)，可得+b＞0，（a-b）2＞0成立，從而，原不等式成立．
點評：本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，用分析法證明不等式成立，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

按要求證明下列各題．
（1）已知a1+a2+a3+a4＞100，用反證法證明a1，a2，a3，a4中，至少有一個數(shù)大于25；
（2）已知a，b是不相等的正數(shù)．用分析法證明a3+b3＞a2b+ab2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若數(shù)列{an}，{bn}中，a1=a，b1=b，
an=-2an-1+4bn-1
bn=-5an-1+7bn-1
，（n∈N，n≥2）．請按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上．
（1）可考慮利用算法來求am，bm的值，其中m為給定的數(shù)據(jù)（m≥2，m∈N）．右圖算法中，虛線框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的
ACD
ACD

（請?zhí)畛鋈看鸢福?BR>A、B、
C、D、

（2）我們可證明當(dāng)a≠b，5a≠4b時，{an-bn}及{5an-4bn}均為等比數(shù)列，請按答紙題要求，完成一個問題證明，并填空．
證明：{an-bn}是等比數(shù)列，過程如下：an-bn=（-2an-1+4bn-1）+（5an-1-7bn-1）=3an-1-3bn-1=3（an-1-bn-1）
所以{an-bn}是以a1-b1=a-b≠0為首項，以
3
3
為公比的等比數(shù)列；
同理{5an-4bn}是以5a1-4b1=5a-4b≠0為首項，以
2
2
為公比的等比數(shù)列
（3）若將an，bn寫成列向量形式，則存在矩陣A，使
an
bn
=A
an-1
bn-1
=A(A
an-2
bn-2
)=A2
an-2
bn-2
=…=An-1
a1
b1
，請回答下面問題：
①寫出矩陣A=
-24
-57
-24
-57
；  ②若矩陣Bn=A+A2+A3+…+An，矩陣Cn=PBnQ，其中矩陣Cn只有一個元素，且該元素為Bn中所有元素的和，請寫出滿足要求的一組P，Q：
P=
1 
1 
，Q=
1
1
P=
1 
1 
，Q=
1
1
； ③矩陣Cn中的唯一元素是
2n+2-4
2n+2-4
．
計算過程如下：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年遼寧省高二下學(xué)期第二次考試文數(shù) 題型：解答題

（本題滿分10分）按要求證明下列各題.

（Ⅰ）已知，

用反證法證明中，至少有一個數(shù)大于25

（Ⅱ）已知是不相等的正數(shù).用分析法證明.

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年遼寧省開原高中高二下學(xué)期第二次考試文數(shù) 題型：解答題

（本題滿分10分）按要求證明下列各題.
（Ⅰ）已知，
用反證法證明中，至少有一個數(shù)大于25
（Ⅱ）已知是不相等的正數(shù).用分析法證明.

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