Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃與a₅的等比中項(xiàng)，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大時(shí)，求n的值．

Answer 1

分析：（1）將數(shù)列的已知等式利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式用首項(xiàng)、公比表示，解方程組求出首項(xiàng)與公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求出通項(xiàng)

Sn

n

，判斷出當(dāng)n=9時(shí)，其為0得到和最大時(shí)n的值．

解答：解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，且2是a₃與a₅的等比中項(xiàng)
∴a₁²q⁴+2a₁²q⁶+a₁²q⁸=25   ①
a₁²q⁶=4   ②
解①②的a1=16，q=

1

2

∴an=16•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式an=(

1

2

)n-5；
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n
∴Sn=

(9-n)n

2

∴

Sn

n

=

9-n

2

當(dāng)n=9時(shí)

Sn

n

=

9-n

2

=0
∴

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

最大時(shí)，n=8或9
故n=8或9．

點(diǎn)評(píng)：解決等比數(shù)列、等差數(shù)列兩個(gè)特殊數(shù)列的有關(guān)問題，常利用它們的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程組，通過解方程組求出通項(xiàng)和公差、公比再求其他量即可．