Question

是否存在常數(shù)a，b 使得2+4+6+…+（2n）=an²+bn對(duì)一切n∈N^*恒成立？若存在，求出a，b的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，再令n=1，n=2構(gòu)造兩個(gè)方程求出a，b，再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時(shí)先證：（1）當(dāng)n=1時(shí)成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，遞推到n=k+1時(shí)，成立即可．

解答： 解：取n=1和2，得

2=a+b 2+4=4a+2b

解得

a=1 b=1

，…（4分）
即2+4+6+…+（2n）=n²+n．
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證．…（6分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k，k∈N^*時(shí)等式成立即2+4+6+…+（2k）=k²+k …（8分）
那么，當(dāng)n=k+1 時(shí)有2+4+6+…+（2k）+（2k+2）=k²+k+（2k+2）…（10分）
=（k²+2k+1）+（k+1）=（k+1）²+（k+1）…（12分）
就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1 時(shí)等式成立…（13分）
根據(jù)（1）（2）知，存在

a=1 b=1

，使得任意n∈N^*等式都成立…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查研究存在性問(wèn)題和數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)存在性問(wèn)題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．