Question

函數(shù)f(θ)=3+

1+cosθ

sinθ

+

2+2sinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)的最小值為（　�。�

• A．8
• B．10
• C．12
• D．4

  5

Answer 1

分析：利用半角的三角函數(shù)化簡，f（θ）的解析式為3+cot

θ

2

+2

1+tan θ 2

1-tan θ 2

，由θ的范圍得0＜tan

θ

2

＜1，且f（θ）＞6．令 y=f（θ），則一元二次方程（y-1）x²+（4-y）x+1=0 在（0，1）內(nèi)有解，喲判別式大于或等于0得y≥10，利用根與系數(shù)的關(guān)系檢驗(yàn)可得兩個(gè)根均在（0，1）內(nèi)，故y的最小值為10．

解答：解：∵f(θ)=3+

1+cosθ

sinθ

+

2+2sinθ

cosθ

=3+

1+2cos2 θ 2 -1

2sin θ 2 cos θ 2

+2

(cos θ 2 +sin θ 2 )2

cos2 θ 2 -sin2 θ 2

=3+cot

θ

2

+2 

1+tan θ 2

1-tan θ 2

．
由于0＜θ＜

π

2

，∴0＜tan

θ

2

＜1，∴f（θ）＞3+1+2＞6．
令 y=f（θ），由以上可得 y=3+cot

θ

2

+2 

1+tan θ 2

1-tan θ 2

，
∴（y-1）tan2

θ

2

+（4-y）tan

θ

2

+1=0，則一元二次方程（y-1）x²+（4-y）x+1=0 在（0，1）內(nèi)有解．
∴△=（4-y）²-4（y-1）≥0，（y-2）（y-10）≥0，y≥10．
故兩根之和等于

y-4

y-1

=1-

3

y-1

∈[

2

3

，1），兩根之積等于

1

y-1

∈（0，

1

9

]，
所以是兩個(gè)正數(shù)根，兩個(gè)根均在（0，1）內(nèi)，故有y≥10，即y的最小值為10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查半角的三角函數(shù)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，判斷一元二次方程（y-1）x²+（4-y）x+1=0 在（0，1）內(nèi)有解，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．