Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（log_π3）•f（log_π3），c=-2f（-2），則a，b，c的大小關(guān)系為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴此時(shí)g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，即此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴g（x）=xf（x）是偶函數(shù)，
即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
則a=3f（3）=g（3），b=（log_π3）•f（log_π3）=g（log_π3），c=-2f（-2）=g（-2）=g（2），
∵0＜log_π3＜1＜2＜3，
∴g（log_π3）＜g（2）＜g（3），
即b＜c＜a，
故答案為：b＜c＜a．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的大小比較，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．