Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，PB=AB=2MA．求證：
（1）平面AMD∥平面BPC；
（2）平面PMD⊥平面PBD．

Answer 1

分析：（1）平面AMD內(nèi)的直線MA，平行平面BPC內(nèi)的直線PB，即可證明平面AMD∥平面BPC；
（2））連接AC，設(shè)AC∩BD=E，取PD中點(diǎn)F，連接EF，MF．證明MF⊥平面PBD，從而證明平面PMD⊥平面PBD．

解答：證明：（1）因?yàn)镻B⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，所以PB∥MA．因PB?平面BPC，MA不在平面BPC內(nèi)，所以MA∥平面BPC．同理DA∥平面BPC，因?yàn)镸A?平面AMD，AD?平面AMD，MA∩AD=A，所以平面AMD∥平面BPC．（6分）
（2）連接AC，設(shè)AC∩BD=E，取PD中點(diǎn)F，連接EF，MF．
因ABCD為正方形，所以E為BD中點(diǎn)．
因?yàn)镕為PD中點(diǎn)，所以EF

∥ .

.

1

2

PB．因?yàn)锳M

∥ .

.

1

2

PB，所以AM

∥ .

.

EF．
所以AEFM為平行四邊形．所以MF∥AE．因?yàn)镻B⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PB⊥AE．所以MF⊥PB．
因?yàn)锳BCD為正方形，所以AC⊥BD．所以MF⊥BD．
所以MF⊥平面PBD．又MF?平面PMD．
所以平面PMD⊥平面PBD．（14分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的判定，平面與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．