Question

已知函數(shù)f（x）=|x|x-2ax+b（x∈R）．給出下列命題：
①f（x）可能是奇函數(shù)；
②f（x）可能是偶函數(shù)；
③當(dāng)f（0）=f（2）時(shí)f（x）的圖象必關(guān)于x=1對(duì)稱；
④f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：①b=0時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，可知①正確；
②當(dāng)b≠0時(shí)，f（x）不具有奇偶性，故②不正確；
③令a=0，b=-2，則f（x）=|x|x-2，此時(shí)f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x|x-2x是奇函數(shù)，其圖象不關(guān)于x=1對(duì)稱；故③錯(cuò)；
④根據(jù)圖象的平移變換可知函數(shù)f（x）=|x|x-2ax+b（x∈R）的對(duì)稱中心為（0．b），因此可知④正確．

解答：解：①b=0時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，可知①正確；
②當(dāng)b≠0時(shí)，f（x）不具有奇偶性；故②錯(cuò)；
③令a=1，b=0，則f（x）=|x|x-2x
此時(shí)f（0）=f（2）=2，
但f（x）=|x|x-2x是奇函數(shù)，其圖象不關(guān)于x=1對(duì)稱；故③錯(cuò)；
④f（x）=|x|x-2ax+b=

x2- 2ax+b，x≥0 -x2-2ax+b，x＜0

，它的對(duì)稱中心為（0．b），

因此f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，故④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，屬中檔題．．