Question

如圖，已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，直線l₁：x=2，直線l₂：y=3tx（其中-1＜t＜1，t為數(shù)）；．若直線l₂與函數(shù)f（x）的圖象以及直線l₁，l₂與函數(shù)f（x）的圖象所圍成的封閉圖形如陰影所示．
（1）求y=f（x）；  
（2）求陰影面積s關于t的函數(shù)y=s（t）的解析式；（3）若過點A（1，m），m≠4可作曲線y=s（t），t∈R的三條切線，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖象觀察得到二次函數(shù)f（x）過點（0，0），（1，0），就可設出二次函數(shù)的兩根式，再由圖象觀察得到二次函數(shù)圖象還過點（2，6），代入兩根式，就可求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）先求出二次函數(shù)與直線l₂的交點橫坐標，分別為0，1+t，由定積分的幾何意義可知，陰影部分的面積分成兩部分，左邊部分是函數(shù)y=3tx與函數(shù)y=3x²-3x的差在積分區(qū)間[0，1+t]上的定積分，右邊部分是函數(shù)y=3x²-3x與函數(shù)y=3tx的差在積分區(qū)間[1+t，2]上的定積分，分別求出，再相加即可．
（3）先判斷點A（1，m）在不在曲線s（t）上，因為曲線的切線斜率是曲線在切點處的導數(shù)，若過點A（1，m）可作曲線的三條切線，則曲線在切點處的導數(shù)滿足有三個實根，再利用導數(shù)判斷m為何值時關于x方程2x³-6x+m=0有三個實根即可．
解答：解：（1）由圖可知二次函數(shù)的圖象過點（0，0），（1，0）
則f（x）=ax（x-1），
又因為圖象過點（2，6）
∴6=2a∴a=3
∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3x（x-1）=3x²-3x
（2）由得x²-（1+t）x=0，∴x₁=0，x₂=1+t，
∵-1＜t＜1，∴直線l₂與f（x）的圖象的交點橫坐標分別為0，1+t，
由定積分的幾何意義知：
=+
=（1+t）³+2-6t，（-1＜t＜1）；
（3）∵曲線方程為s（t）=（1+t）³+2-6t，t∈R，∴s'（t）=3（1+t）²-6，
∴點A（1，m），m≠4不在曲線上．
設切點為M（x，y），則點M的坐標滿足y=（1+x）³+2-6x，
∵s'（x）=3（1+x）²-6，故切線的斜率為，
整理得2x³-6x+m=0．
∵過點A（1，m）可作曲線的三條切線，∴關于x方程2x³-6x+m=0有三個實根．
設g（x）=2x³-6x+m，則g'（x）=6x²-6，由g'（x）=0得x=±1
∵當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，g'（x）＞0∴g（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵當x∈（-1，1）時，g'（x）＜0，∴g（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)g（x）=2x³-6x+m的極值點為x=±1，
∴關于x方程2x³-6x+m=0有三個實根的充要條件是，即
解得-4＜m＜4，
故所求的實數(shù)m的取值范圍是-4＜m＜4．
點評：本題（1）考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）考察了定積分在幾何中的應用；（3）考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值的關系，屬于綜合題．