Question

如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，F(xiàn)A⊥CD.

(1)證明：在平面BCE上，一定存在過(guò)點(diǎn)C的直線l與直線DF平行；

(2)求二面角F­CD­A的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

(1)見(jiàn)解析   (2)

【解析】解：(1)證明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC＝B，AD∩AF＝A，

∴平面BCE∥平面ADF.

設(shè)平面DFC∩平面BCE＝l，則l過(guò)點(diǎn)C.

∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，

平面DFC∩平面ADF＝DF.

∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在過(guò)點(diǎn)C的直線l，使得DF∥l.

(2)∵FA⊥AB，F(xiàn)A⊥CD，AB與CD相交，

∴FA⊥平面ABCD.

故以A為原點(diǎn)，AD，AB，AF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(xiàn)(0,0,2)，

∴＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)．

設(shè)平面DFC的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，

則⇒不妨設(shè)z＝1.

則n＝(2，－1,1)，不妨設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為m＝(0,0,1)．

∴cos〈m，n〉＝＝＝，

由于二面角F­CD­A為銳角，

∴二面角F­CD­A的余弦值為.