Question

6．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有底面邊長和側(cè)棱長均等于2，D為AC上一點，且BD⊥DC₁，求：
（1）異面直線AB₁與BC₁所成角的大��；
（2）直線A₁B與平面BDC₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩條異面直線的方向向量的夾角即可得出異面直線所成的角．
（2）求出平面的法向量，利用向量夾角公式，求出直線A₁B與平面BDC₁所成角的大�。�

解答 解：（1）如圖所示，分別取BC、B₁C₁的中點O、O₁，由正三棱柱的性質(zhì)可得AO、BO、OO₁，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系．
∵所有棱長都為2，∴A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），B₁（0，1，2），
C₁（0，-1，2）．
∴$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-2，2），
∴異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值為$\frac{2}{\sqrt{8}×\sqrt{8}}$=$\frac{1}{4}$
∴異面直線AB₁與BC₁所成角的大小為arccos$\frac{1}{4}$．
（2）設(shè)直線A₁B與平面BDC₁所成角為α，
∵D為AC上一點，且BD⊥DC₁，
∴D為BC的中點，即O點，
∴平面BDC₁的法向量為$\overrightarrow{OA}$=（$\sqrt{3}$，0，0），
∵$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（-$\sqrt{3}$，1，-2），
∴sinα=|$\frac{-3}{\sqrt{3}•\sqrt{3+1+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴直線A₁B與平面BDC₁所成角的大小為arcsin$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 熟練掌握通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用向量的夾角公式得出異面直線所成的角、線面角的方法是解題的關(guān)鍵．