Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n=2S_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=（2n-1）•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=2S₁+1=2a₁+1，解得a₁．當(dāng)n≥2時，a_n=2S_n+1，a_n-1=2S_n-1+1，兩式相減得a_n-a_n-1=2a_n，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=（2n-1）•{（-1）^n}$，對n分類討論：當(dāng)n為偶數(shù)時，b_n-1+b_n=2，可得T_n；當(dāng)n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，T_n=T_n+1-b_n+1．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=2S₁+1=2a₁+1，解得a₁=-1．
當(dāng)n≥2時，a_n=2S_n+1，a_n-1=2S_n-1+1，兩式相減得a_n-a_n-1=2a_n，化簡得a_n=-a_n-1，
所以數(shù)列{a_n}是首項為-1，公比為-1的等比數(shù)列，
可得${a_n}={（-1）^n}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${b_n}=（2n-1）•{（-1）^n}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，b_n-1+b_n=2，${T_n}=\frac{n}{2}×2=n$；
當(dāng)n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，T_n=T_n+1-b_n+1=（n+1）-（2n+1）=-n．
所以數(shù)列{b_n}的前n項和${T_n}={（-1）^n}•n$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、“分組求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．