Question

已知矩陣A=

a k 0 1

（k≠0）的一個(gè)特征向量為

a

=

k -1

，矩陣A的逆矩陣A^-1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（3，1）變?yōu)辄c(diǎn)（1，1）．
（1）求實(shí)數(shù)a，k的值；
（2）求直線x+2y+1=0在矩陣A的對(duì)應(yīng)變換下得到的圖形方程．

Answer 1

考點(diǎn)：特征值、特征向量的應(yīng)用

專題：

分析：（1）利用特征值與特征向量的定義，可求a；利用A的逆矩陣A^-1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（3，1）變?yōu)辄c(diǎn)（1，1），可求k的值．
（2）利用矩陣變換，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可得到在A對(duì)應(yīng)的變換作用下的新曲線的方程．

解答： 解：設(shè)特征向量為

a

=

k -1

，對(duì)應(yīng)的特征值為λ，則

a k 0 1

k -1

=λ

k -1

，即

ak-k=λk λ=1

因?yàn)閗≠0，所以a=2．
因?yàn)锳^-1

3 1

=

1 1

，所以A

1 1

=

3 1

，所以2+k=3，解得k=1．
綜上，a=2，k=1．
（2）設(shè)直線x+2y+1=0上任一點(diǎn)P（x，y）在A對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'（x'，y'），
∴

2 1 0 1

x y

=

x′ y′

，
∴

x= x′-y′ 2 y=y′

，
代入x+2y+1=0，化簡(jiǎn)可得x′+3y′+2=0，
∴得到的圖形方程為x+3y+2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣的乘法，矩陣變換，以及特征值與特征向量的計(jì)算，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．