Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（-1，1），P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k_OP+k_OA=k_PA．
（Ⅰ）求點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且，直線OP與QA交于點M，問：是否存在點P使得△PQA和△PAM的面積滿足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則由k_OP+k_OA=k_PA得，，從而就可以得到軌跡C的方程；
（Ⅱ）方法一、設(shè)，由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
可得x₂+x₁=-1，由O、M、P三點共線可知，與共線，從而可得，
這樣，我們可以求出M的橫坐標，由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以O(shè)P=2OM，從而可求P的坐標；
方法二、設(shè)，確定直線OP方程、直線QA方程，我們可以得出點M的橫坐標為定值，由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以O(shè)P=2OM，從而可求P的坐標．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點P（x，y）為所求軌跡上的任意一點，則由k_OP+k_OA=k_PA得，，
整理得軌跡C的方程為y=x²（x≠0且x≠-1）．（4分）
（Ⅱ）方法一、
設(shè)，
由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故，即x₂+x₁=-1，（6分）
由O、M、P三點共線可知，與共線，
∴，
由（Ⅰ）知x₁≠0，故y=xx₁，（8分）
同理，由與共線，
∴，
即（x₂+1）[（x+1）（x₂-1）-（y-1）]=0，
由（Ⅰ）知x₁≠-1，故（x+1）（x₂-1）-（y-1）=0，（10分）
將y=xx₁，x₂=-1-x₁代入上式得（x+1）（-2-x₁）-（xx₁-1）=0，
整理得-2x（x₁+1）=x₁+1，
由x≠-1得，（12分）
由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以O(shè)P=2OM，
由，得x₁=1，∴P的坐標為（1，1）． （14分）
方法二、設(shè)，
由可知直線PQ∥OA，則k_PQ=k_OA，
故，即x₂=-x₁-1，（6分）
∴直線OP方程為：y=x₁x①；（8分）
直線QA的斜率為：，
∴直線QA方程為：y-1=（-x₁-2）（x+1），即y=-（x₁+2）x-x₁-1②；（10分）
聯(lián)立①②，得，∴點M的橫坐標為定值．（12分）
由S_△PQA=2S_△PAM，得到QA=2AM，因為PQ∥OA，所以O(shè)P=2OM，
由，得x₁=1，∴P的坐標為（1，1）．（14分）
點評：考查向量知識在幾何中的運用，實際上就是用坐標表示向量，再進行運算；（Ⅱ）的關(guān)鍵是確定出點M的橫坐標為定值．