(2013•紹興一模)如圖,正四面體ABCD的頂點(diǎn)C在平面α內(nèi),且直線BC與平面α所成角為45°,頂點(diǎn)B在平面α上的射影為點(diǎn)O,當(dāng)頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大時(shí),直線CD與平面α所成角的正弦值等于( )

A. B. C. D.

A

【解析】

試題分析:由題意,可得當(dāng)O、B、A、C四點(diǎn)共面時(shí)頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大,設(shè)此平面為β.由面面垂直判定定理結(jié)合BO⊥α,證出β⊥α.過(guò)D作DE⊥α于E,連結(jié)CE,根據(jù)面面垂直與線面垂直的性質(zhì)證出DH∥α,從而點(diǎn)D到平面α的距離等于點(diǎn)H到平面α的距離.設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,根據(jù)BC與平面α所成角為45°和正四面體的性質(zhì)算出H到平面α的距離,從而在Rt△CDE中,利用三角函數(shù)的定義算出sin∠DCE=,即得直線CD與平面α所成角的正弦值.

【解析】
∵四邊形OBAC中,頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大,

∴O、B、A、C四點(diǎn)共面,設(shè)此平面為β

∵BO⊥α,BO?β,∴β⊥α

過(guò)D作DH⊥平面ABC,垂足為H,

設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1,則Rt△HCD中,CH=BC=

∵BO⊥α,直線BC與平面α所成角為45°,

∴∠BCO=45°,結(jié)合∠HCB=30°得∠HCO=75°

因此,H到平面α的距離等于HCsin75°=×=

過(guò)D作DE⊥α于E,連結(jié)CE,則∠DCE就是直線CD與平面α所成角

∵DH⊥β,α⊥β且DH?α,∴DH∥α

由此可得點(diǎn)D到平面α的距離等于點(diǎn)H到平面α的距離,即DE=

∴Rt△CDE中,sin∠DCE==,即直線CD與平面α所成角的正弦值等于

故選:A

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014-2015學(xué)年甘肅省高二上學(xué)期第四次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知雙曲線與拋物線有一個(gè)公共的焦點(diǎn),且兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為,若,則雙曲線的漸近線方程為( )

(A)

(B)

(C)

(D)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:[同步]2014年湘教版選修2-2 4.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算練習(xí)卷(解析版) 題型:?????

(2014•重慶三模)對(duì)于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f′′(x)=0有實(shí)數(shù)解x0,則稱(chēng)點(diǎn)(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心,且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱(chēng)中心.設(shè)函數(shù)g(x)=,則g()+=( )

A.2011 B.2012 C.2013 D.2014

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:[同步]2014年湘教版選修2-1 3.9共面與平行練習(xí)卷(解析版) 題型:?????

已知=(1,5,﹣2),=(3,1,z),若,=(x﹣1,y,﹣3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x、y、z分別為( )

A.,﹣,4 B.,﹣,4 C.,﹣2,4 D.4,,﹣15

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:[同步]2014年湘教版選修2-1 3.9共面與平行練習(xí)卷(解析版) 題型:?????

如圖,單位正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )

A.BD1⊥B1C

B.若,則PE∥A1B

C.若點(diǎn)B1、A、D、C在球心為O的球面上,則點(diǎn)A、C在該球面上的球面距離為

D.若,則A1P、BE、AD三線共點(diǎn)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:[同步]2014年湘教版選修2-1 3.5直線與平面的垂直關(guān)系練習(xí)卷(解析版) 題型:?????

(2012•資陽(yáng)三模)△ABC和△DBC所在的平面相互垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°,則AD和平面BCD所成的角為( )

A.30° B.45° C.60° D.90°

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:[同步]2014年湘教版選修2-1 3.5直線與平面的垂直關(guān)系練習(xí)卷(解析版) 題型:?????

(2014•嘉興一模)如圖1,在等腰△ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),CD=BE=,O為BC的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起,得到如圖2所示的四棱錐A′﹣BCDE.若A′O⊥平面BCDE,則A′D與平面A′BC所成角的正弦值等于( )

A. B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:[同步]2014年湘教版選修2-1 3.4直線的方向向量練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題

函數(shù)f(x)=在點(diǎn)(2,)的切線方程為 .

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:[同步]2014年湘教版選修2-1 3.1嘗試用向量處理空間圖形練習(xí)卷(解析版) 題型:?????

已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′中,點(diǎn)F是側(cè)面CDD′C′的中心,若=+x+y,則x﹣y等于( )

A.0 B.1 C. D.﹣

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案