Question

（2013•紹興一模）如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)C在平面α內(nèi)，且直線BC與平面α所成角為45°，頂點(diǎn)B在平面α上的射影為點(diǎn)O，當(dāng)頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大時(shí)，直線CD與平面α所成角的正弦值等于（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

A

【解析】

試題分析：由題意，可得當(dāng)O、B、A、C四點(diǎn)共面時(shí)頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大，設(shè)此平面為β．由面面垂直判定定理結(jié)合BO⊥α，證出β⊥α．過D作DE⊥α于E，連結(jié)CE，根據(jù)面面垂直與線面垂直的性質(zhì)證出DH∥α，從而點(diǎn)D到平面α的距離等于點(diǎn)H到平面α的距離．設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，根據(jù)BC與平面α所成角為45°和正四面體的性質(zhì)算出H到平面α的距離，從而在Rt△CDE中，利用三角函數(shù)的定義算出sin∠DCE=，即得直線CD與平面α所成角的正弦值．

【解析】
∵四邊形OBAC中，頂點(diǎn)A與點(diǎn)O的距離最大，

∴O、B、A、C四點(diǎn)共面，設(shè)此平面為β

∵BO⊥α，BO?β，∴β⊥α

過D作DH⊥平面ABC，垂足為H，

設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，則Rt△HCD中，CH=BC=

∵BO⊥α，直線BC與平面α所成角為45°，

∴∠BCO=45°，結(jié)合∠HCB=30°得∠HCO=75°

因此，H到平面α的距離等于HCsin75°=×=

過D作DE⊥α于E，連結(jié)CE，則∠DCE就是直線CD與平面α所成角

∵DH⊥β，α⊥β且DH?α，∴DH∥α

由此可得點(diǎn)D到平面α的距離等于點(diǎn)H到平面α的距離，即DE=

∴Rt△CDE中，sin∠DCE==，即直線CD與平面α所成角的正弦值等于

故選：A