Question

(本大題滿分13分)
若存在常數(shù)k和b (k、b∈R)，使得函數(shù)和對其定義域上的任意實數(shù)x分別滿足：和，則稱直線l：為和的“隔離直線”．已知， (其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．
(1)求的極值；
(2)函數(shù)和是否存在隔離直線？若存在，求出此隔離直線方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)解：∵，
∴當(dāng)時，
∵當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減；
當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；
∴當(dāng)時，F(x)取極小值，其極小值為0．                                                         

(2)解：由(1)可知函數(shù)和的圖象在處有公共點，
因此若存在和的隔離直線，則該直線過這個公共點．
設(shè)隔離直線的斜率為k，則直線方程為，即             

由，可得當(dāng)時恒成立
由得：                                                                             

下面證明當(dāng)時恒成立．
令，
則，                                                                          

當(dāng)時，．
∵當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增；
當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減；
∴當(dāng)時，取極大值，其極大值為0．                                                       

從而，即恒成立．
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線．