Question

下列所給命題中，正確的有

③④

（寫出所有正確命題的序號）
①任意的圓錐都存在兩條母線互相垂直；
②在△ABC中，若4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3

3

，則∠C=30°或150°；
③關(guān)于x的二項(xiàng)式(2x-

1

x

)4的展開式中常數(shù)項(xiàng)是24；
④命題P：?x∈R，x²+1≥1；命題：q：?x∈R，x²-x+1≤0，則命題P∧（￢q）是真命題；
⑤已知函數(shù)f(x)=loga(-x2+logax)的定義域是(0，

1

2

)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

32

，

1

2

)．

Answer 1

分析：①利用特例判斷正誤；
②通過三角函數(shù)的平方關(guān)系式以及兩角和的正弦函數(shù)，求出C的值，判斷正誤；
③利用二項(xiàng)式定理展開式，求出常數(shù)項(xiàng)，判斷正誤即可；
④通過判斷命題的真假判斷正誤即可．
⑤通過數(shù)形結(jié)合求出a的取值范圍，判斷正誤；

解答：解：①任意的圓錐都存在兩條母線互相垂直；這是不正確的．圓錐的頂角小于90°時(shí)就沒有了．
②4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3

3

，∴16sin²A+4cos²B+16sinAcosB=1，①
4sin²B+16cos²A+16sinBcosA=27②
①+②得16+4+16sin（A+B）=28，
∴sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=

1

2

，所以C=30°，故②不正確；
③解：二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為T_r+1=（-1）^r2^4-rC₄^rx^4-2r，令4-2r=0得r=2
所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為4C₄²=24；正確．
④命題P：?x∈R，x²+1≥1；命題：q：?x∈R，x²-x+1≤0，則命題P∧（￢q）是真命題；正確．
⑤因?yàn)?x²+log_ax＞0在 x∈（0，

1

2

）上恒成立，即log_ax＞x²恒成立，如圖：
當(dāng)a＞1時(shí)不符合要求；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，若y=log_ax過點(diǎn)（

1

2

，

1

4

），
即

1

4

=loga

1

2

，所以a=，故

1

16

≤a＜1，
綜上所述，a的范圍為：[

1

16

，1），所以⑤不正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理，復(fù)合命題的真假，兩角和與差的正弦函數(shù)的應(yīng)用，考查基本知識的靈活運(yùn)用，計(jì)算能力．