Question

已知角α為銳角．
（1）若sinα=

3

5

，求sin(α-

π

4

)的值；
（2）若cos(α+β)=

5

13

，sin(α-β)=-

5

13

，其中0＜α+β＜π，-

π

2

＜α-β＜

π

2

，求sin2β的值．

Answer 1

分析：（1）由α為銳角，根據(jù)sinα的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；
（2）根據(jù)cos（α+β）與sin（α-β）的值，以及α+β與α-β的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin（α+β）與cos（α-β）的值，所求式子中的角2β變形為（α+β）-（α-β），利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．

解答：解：（1）∵α為銳角，sinα=

3

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

4

5

，
則sin（α-

π

4

）=

2

2

（sinα-cosα）=-

2

10

；
（2）∵cos（α+β）=

5

13

，sin（α-β）=-

5

13

，0＜α+β＜π，-

π

2

＜α-β＜

π

2

，
∴sin（α+β）=

12

13

，cos（α-β）=

12

13

，
則sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）=

12

13

×

12

13

+

5

13

×

5

13

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．