Question

19．如圖，四面體D-ABC中，AB，BC，BD兩兩垂直，且AB=BC=2，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，G是△ABD的重心，異面直線AD與BE所成的角為θ，且$cosθ=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$
（1）求證BC∥平面EDG；
（2）求平面EBG與平面ACD所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連DG并延長交AB于F，連結(jié)EF，推導(dǎo)出EF∥BC，由此能證明BC∥面EDG．
（2）以B為原點(diǎn)，BC，BA，BD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間坐標(biāo)系，利用向量法能求出面EBG與面ACD所成的銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）連DG并延長交AB于F，連結(jié)EF，
∵G是△ABD的重心，∴F是AB的中點(diǎn)，
又E是AC之中點(diǎn)，∴EF∥BC
而EF?面EDG，BC?面EDG，
∴BC∥面EDG
（2）以B為原點(diǎn)，BC，BA，BD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間坐標(biāo)系，
則C（2，0，0），A（0，2，0），E（1，1，0），設(shè)D（0，0，h），
∴$\overrightarrow{AD}=（{0，-2．h}），\overrightarrow{BE}（{1，1，0}）$，
由$|{cos?\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{BE＞}}|=|{\frac{-2}{{\sqrt{2{h^2}+8}}}}|=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
解得h=4，
∴$D（{0，0，4}），G（{0，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}}）$，
∴$\overrightarrow{AC}=（{2，-2，0}），\overrightarrow{AD}=（{0，-2，4}），\overrightarrow{BE}=（{1，1，0}），\overrightarrow{BG}=（{0，\frac{2}{3}，\frac{4}{3}}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AD}=0\end{array}\right.$，得$\overrightarrow{n_1}=（{2，2，1}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BE}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{BG}=0\end{array}\right.$得$\overrightarrow{n_2}=（{2，-2，1}）$，
∴$cos?\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{1}{9}$
即面EBG與面ACD所成的銳二面角的余弦值為$\frac{1}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．