Question

已知中心在原點(diǎn)，長軸在x軸上的橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是（0，-

5

），離心率為

6

6

，左、右焦點(diǎn)分別為F₁和F₂．
（1）求橢圓方程；
（2）試探究橢圓上是否存在一點(diǎn)P，使

PF1

•

PF2

=0，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，求出a，b即可；
（2）利用三角形的面積推出矛盾，解析幾何推方程無解，或者直接利用向量求解．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1．
由已知，b=

5

，e=

c

a

=

6

6

．
e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

，∴1-

5

a2

=

1

6

．
解得a²=6；
∴所求橢圓方程為

x2

6

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）解法一：假設(shè)存在一點(diǎn)P，使

PF1

•

PF2

=0，
∴

PF1

⊥

PF2

．
∴△PF₁F₂為直角三角形，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4①
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2

6

②
∴②²-①，得 
 2|PF₁|•|PF₂|=20，
∴

1

2

|PF1|•|PF2|=5，
即S△PF1F2=5，但S△PF1F2最大值為

5

，故矛盾，
∴不存在一點(diǎn)P，使

PF1

•

PF2

=0．
解法二：假設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)P，使

PF1

•

PF2

=0，
則

PF1

⊥

PF2

，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
所以，點(diǎn)P在以F₁F₂為直徑的圓x²+y²=1上，
由

x2 6 + y2 5 =1 x2+y2=1

得x²=-24，這是不可能的，
所以橢圓上不存在點(diǎn)P，使

PF1

•

PF2

=0，
解法三：假設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)P（x，y），使

PF1

•

PF2

=0，
則

PF1

=(-1-x，-y)，

PF2

=(1-x，-y)，
由

PF1

•

PF2

=0得x²+y²=1，
由

x2 6 + y2 5 =1 x2+y2=1

得x²=-24，這是不可能的，
所以橢圓上不存在點(diǎn)P，使

PF1

•

PF2

=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義及橢圓中線的關(guān)系，同時(shí)考查了向量的應(yīng)用，屬于中檔題．