Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與y=2x+m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），令f′（x）=0，求出方程的根，求解f′（x）＜0和f′（x）＜0，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)題意可知f（x）=2x+m，將f（x）代入整理，令g（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+5，則有g(shù)（x）=m，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g（x）與y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性和極值，從而可以求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5，
∴f'（x）=x²-3x+2，
令f'（x）=0，解得x=1或x=2，
∴當(dāng)x＜1或x＞2時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）；
（Ⅱ）令f（x）=2x+m，即

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5=2x+m，
∴

1

3

x3-

3

2

x2+5=m，
設(shè)g（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+5，
∵曲線y=f（x）與y=2x+m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴函數(shù)y=g（x）與y=m有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
令g'（x）=0，解得x=0或x=3，
當(dāng)x＜0或x＞3時(shí)，g'（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜3時(shí)，g'（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0），（3，+∞）單調(diào)遞增，在（0，3）單調(diào)遞減，
∵g(0)=5，g(3)=

1

2

，畫出函數(shù)g（x）的大值圖象如右圖，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為

1

2

＜m＜5．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．對于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時(shí)，經(jīng)常會運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．過程中要注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，一般導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．屬于中檔題．