對于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b,不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,記實(shí)數(shù)M的最大值是m.
(1)求m的值;
(2)解不等式|x-1|+|x-2|≤m.
考點(diǎn):絕對值不等式的解法
專題:計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)由題意可得,M≤
|a+b|+|a-b|
|a|
對于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b恒成立,再由
|a+b|+|a-b|
|a|
≥2可
得,M≤2,由此可得m的值.
(2)由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和,而數(shù)軸上
1
2
5
2
對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2,由此求得|x-1|+|x-2|≤2的解集.
解答: 解:(1)不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立,
即M≤
|a+b|+|a-b|
|a|
對于任意的實(shí)數(shù)a(a≠0)和b恒成立,
故只要左邊恒小于或等于右邊的最小值.
因?yàn)閨a+b|+|a-b|≥|(a+b)+(a-b)|=2|a|,
當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(a+b)≥0時(shí)等號成立,
即|a|≥|b|時(shí),
|a+b|+|a-b|
|a|
≥2成立,
也就是
|a+b|+|a-b|
|a|
的最小值是2,
故M的最大值為2,即 m=2;
(2)不等式|x-1|+|x-2|≤m即|x-1|+|x-2|≤2.
由于|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和,
而數(shù)軸上
1
2
5
2
對應(yīng)點(diǎn)到1和2對應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2,
故|x-1|+|x-2|≤2的解集為:{x|
1
2
≤x≤
5
2
}.
點(diǎn)評:本題主要考查絕對值的意義,絕對值不等式的解法,函數(shù)的恒成立問題,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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1
4
),則f(-3)的值為
 

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下列命題為真命題的是( 。
A、若ac>bc,則a>b
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C、若
1
a
1
b
,則a<b
D、若
a
b
,則a<b

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C、(2,-1,1)
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(2)用樣本估計(jì)總體,若該校高中二年級男生共有1000人,求該年級中男生身高不低于170cm的人數(shù).
身高(單位:cm)[150,155)[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180)[180,185)[185,190)
人數(shù)2815202518102

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