Question

已知拋物線C的頂點在坐標原點，以坐標軸為對稱軸，且焦點F（2，0）．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）直線l過焦點F與拋物線C相交與M，N兩點，且|MN|=16，求直線l的傾斜角．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)拋物線C的標準方程為y²=2px（p＞0），由焦點F（2，0），可得

p

2

=2，解得p即可．
（2）設(shè)直線l的方程為my=x-2，與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式即可得出m，進而得到直線l的斜率k=±

1

m

，即可得出傾斜角．

解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線C的標準方程為y²=2px（p＞0），∵焦點F（2，0），∴

p

2

=2，解得p=4．
∴拋物線C的標準方程y²=8x．
（2）設(shè)直線l的方程為my=x-2，聯(lián)立

my=x-2 y2=8x

，化為y²-8my-16=0，
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16．
∵|MN|=16，∴

(1+m2)[(8m)2-4×(-16)]

=16，化為m²=1．
解得m=±1．
∴直線l的斜率k=±1．
設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα=±1，解得α=45°或135°．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、傾斜角與斜率的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．