已知
a
=ksinθ•
e1
+（2-cosθ）•
e2
，
b
=
e1
+
e2
，且
a
∥
b
，
e1
與
e2
不共線，θ∈（0，π）．
（1）求k與θ的關(guān)系；
（2）求k=f（θ）的最小值．
分析：（1）利用向量共線的充要條件列出等式，分離出k．
（2）利用三角函數(shù)的二倍角的正弦、余弦公式化簡k的函數(shù)解析式；利用基本不等式求出最值，注意檢驗(yàn)等號何時取得．
解答：解：（1）∵
a
 ∥
b
，∴
a
=λ
b
，ksinθ•
e1
+(2-cosθ)•
e2
=λ(
e1
+
e2
)，
∴
ksinθ=λ
2-cosθ=λ
∴k•sinθ=2-cosθ，
k=
2-cosθ
sinθ
=(θ∈(0，π))．
（2）k=
2-cosθ
sinθ
=
2-(1-2sin2
θ
2
) 
2sin
θ
2
cos
θ
2
=
3sin2
θ
2
+cos2
θ
2
 
2sin
θ
2
cos
θ
2


=
1+3tan2
θ
2
2tan
θ
2
=
3
2
tan
θ
2
+
1
2tan
θ
2
．
又∵θ∈（0，π），∴tan
θ
2
＞0．
∴k=
3
2
tan
θ
2
+
1
2tan
θ
2
≥
3

（當(dāng)且僅當(dāng)tan
θ
2
=
3
3
，即θ=
π
3
時取等號）
點(diǎn)評：本題考查向量共線的充要條件、考查三角函數(shù)的二倍角公式、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值需滿足的條件是：一正、二定、三相等．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量
a
=（-1，2），又點(diǎn)A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤
π
2
)．
（1）若
AB
⊥
a
，且|
AB
|=
5
|
OA
|(O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求向量
OB
；
（2）若向量
AC
與向量
a
共線，當(dāng)k＞4，且tsinθ取最大值4時，求
OA
•
OC
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知
p
=(-1，2)，A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），其中0≤θ≤
π
2

（1）若
AB
⊥
p
，且|
AB
|=
5
|
OA
|，求向量
OB
；
（2）若向量
AC
∥
p
，當(dāng)k為大于4的某個常數(shù)時，tsinθ取最大值4，求此時
OA
與
OC
夾角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定理：“如果兩個非零向量
e1
，
e2
不平行，那么k1
e1
+k2
e2
=
0
（k1，k2∈R）的充要條件是k1=k2=0”．試用上述定理解答問題：
設(shè)非零向量
e1
與
e2
不平行．已知向量
a
=(ksinθ)•
e
1+(2-cosθ)•
e
2，向量
b
=
e
1+
e
2，且
a
∥
b
．求k與θ的關(guān)系式；并當(dāng)θ∈R時，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知
a
=ksinθ•
e1
+（2-cosθ）•
e2
，
b
=
e1
+
e2
，且
a
∥
b
，
e1
與
e2
不共線，θ∈（0，π）．
（1）求k與θ的關(guān)系；
（2）求k=f（θ）的最小值．

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