Question

已知a＞1，f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)
（1）求f（x）；
（2）判斷f（x）的奇偶性和單調(diào)性；
（3）若當(dāng)x∈（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的集合M．

Answer 1

（1）令t=log_ax，則x=a^t，代入f(logax)=

a

a2-1

(x-

1

x

)，可得f(t)=

a

a2-1

(a2-a-2)
∴函數(shù)的解析式f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)；
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

(ax1-a-x1)-

a

a2-1

(ax2-a-x2)=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1+x2

)，
a＞1時，∵x₁＜x₂，∴

a

a2-1

＞0，ax1-ax2＜0，1+

1

ax1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）單調(diào)遞增；
（3）若當(dāng)x∈（-1，1）時，有1-m∈（-1，1）且1-m²∈（-1，1），
f（1-m）+f（1-m²）＜0可化為f（1-m）＜-f（1-m²），
∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（1-m）＜f（m²-1），又f（x）為增函數(shù)，∴1-m＜m²-1，
由

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 m2+m-2＞0

解得，1＜m＜

2

，
故M={m|1＜m＜

2

}．