Question

17．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，則正四棱柱的外接球的表面積為24π．

Answer 1

分析 根據正四棱柱的各頂點均在同一球的球面上，則正四棱柱的體對角線等于球的直徑，然后求出球的半徑，進而可求球的表面積．

解答 解：∵正四棱柱的各頂點均在同一球的球面上，
∴正四棱柱的體對角線等于球的直徑，
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，
∴正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體對角線l=$\sqrt{4+4+16}$=2$\sqrt{6}$，
∴球的直徑2r=2$\sqrt{6}$，
即球的半徑r=$\sqrt{6}$，
∴球的表面積為4πr²=24π，
故答案為24π．

點評 本題主要考查球的表面積公式，以及球內接長方體的關系，要求熟練掌握長方體的體對角線和球直徑之間的關系是解決本題的關鍵．