橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)與拋物線C2：x2=2py（p＞0）的一個交點為M．拋物線C2在點M處的切線過橢圓C1的右焦點F．
（1）若M(2，
2
5
5
)，求C1和C2的標準方程；
（II）若b=1，求p關(guān)于a的函數(shù)表達式p=f（a）．
（1）把M(2，
2
5
5
)代入C2：x2=2py（p＞0）得p=
5
，故C2：x2=2
5
y…（2分）
由y=
5
10
x2得y′=
5
5
x，從而C2在點M處的切線方程為y-
2
5
5
=
2
5
5
(x-2)…（4分）
令y=0有x=1，F(xiàn)（1，0），…（5分）
又M在(2，
2
5
5
)橢圓C1上
所以
4
a2
+
4
5b2
=1
a2-b2=1
，解得a2=5，b2=4，故C1：
x2
5
+
y2
4
=1…（7分）
（2）設(shè)M(x0，
1
2p
x02)，由y=
1
2p
x2得y′=
1
p
x，
從而C2在點M處的切線方程為y-
x02
2p
=
x0
p
(x-x0)…（9分）
設(shè)F（c，0），代入上式得x0=2c，
因為
x02
a2
+
y02
b2
=1，所以y02=b2(1-
x02
a2
)=b2(1-
4c2
a2
)=
b2
a2
(4b2-3a2)…（11分）
又x02=2py0，所以p=
x02
2y0
=
2c2
b
a
4b2-3a2
=
2a(a2-b2)
b
4b2-3a2
=
2a(a2-1)
4-3a2
，…（13分）
結(jié)合a＞b知1＜a＜
2
3
3
，所以p=f（a）=
2a(a2-1)
4-3a2
（1＜a＜
2
3
3
）．…（14分）
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面內(nèi)一點P與兩個定點F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離的差的絕對值為2．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程C；
（Ⅱ）設(shè)過（0，-2）的直線l與曲線C交于A，B兩點，且OA⊥OB（O為坐標原點），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的焦點，P為橢圓上的點，PF1⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長軸頂點A和短軸頂點B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點，證明∠F1QF2≤
π
2

（3）過F1與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△MF2N的面積為20
3
，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A（-
2
，0）、B（
2
，0），離心率e=
2
2
．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且|PC|=（
2
-1）|PQ|．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設(shè)直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且|MN|=
8
2
7
，求直線MN的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知斜率為1的直線l過橢圓
x2
4
+y2=1的右焦點F2．
（1）求直線l的方程；
（2）若l與橢圓交于點A、B兩點，F(xiàn)1為橢圓左焦點，求S△F1AB．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C過點P（1，
3
2
），兩個焦點分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F1的直線交橢圓于A、B兩點，求線段AB的中點的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(1，
2
2
)，離心率為
2
2
，左、右焦點分別為F1、F2．點P為直線l：x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點．設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2．
（Ⅰ）證明：
1
k1
-
3
k2
=2；
（Ⅱ）問直線l上是否存在點P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA+kOB+kOC+kOD=0？若存在，求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓C1的方程為(x-2)2+(y-1)2=
20
3
，橢圓C2的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），C2的離心率為
2
2
，如果C1與C2相交于A、B兩點，且線段AB恰為圓C1的直徑，求直線AB的方程和橢圓C2的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1和拋物線C2：y2=2px（p＞0），過點M（1，0）且傾斜角為
π
3
的直線與拋物線交于A、B，與橢圓交于C、D，當|AB|：|CD|=5：3時，求p的值．

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同步練習冊答案