Question

已知函數(shù)f（x）=-ax（x＞0且x≠1）．
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
（2）若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，等價于f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，進而轉化為f′（x）_max≤0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得f′（x）_max；
（2）命題“若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立”等價于“當x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，由（1）易求f′（x）_max+a，從而問題等價于“當x∈[e，e²]時，有f（x）_min”，分①a，②a＜兩種情況討論：當a時易求f（x）_min，當a＜時可求得f′（x）的值域為[-a，]，再按（i）-a≥0，（ii）-a＜0兩種情況討論即可；
解答：解：（1）因f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，
故f′（x）=-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
又f′（x）=-a=-+-a=-，
故當，即x=e²時，，
所以0，于是a，故a的最小值為．
（2）命題“若?x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f'（x₂）+a成立”等價于“當x∈[e，e²]時，有f（x）_min≤f′（x）_max+a”，
由（1），當x∈[e，e²]時，f′（x）_max=，所以f′（x）_max+a=，問題等價于：“當x∈[e，e²]時，有f（x）_min”，
①當a時，由（1），f（x）在[e，e²]上為減函數(shù)，
則f（x）_min=f（e²）=，故a，；
②當a＜時，由于在[e，e²]上為增函數(shù)，
故f′（x）的值域為[f′（e），f′（e²）]，即[-a，]．
（i）若-a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e²]上恒成立，故f（x）在[e，e²]上為增函數(shù)，
于是，f（x）_min=f（e）=e-ae≥e＞，不合題意；
（ii）若-a＜0，即0＜a＜，由f′（x）的單調(diào)性和值域知，?唯一，使f′（x）=0，
且滿足：當x∈（e，x）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當x時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
所以，，，
所以a-＞，與0＜a＜矛盾，不合題意；
綜上，得a．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查恒成立問題，考查分類討論思想、轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．