Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分別是AB，A₁C的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面A₁B₁C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證MN||平面BCC₁B₁，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證MN與平面BCC₁B₁內(nèi)一直線平行即可，而連接BC₁，AC₁．根據(jù)中位線定理可知MN||BC₁，又MN?平面BCC₁B₁滿足定理所需條件；
（Ⅱ）以B₁為原點，A₁B₁為x軸，B₁B為y軸，B₁C₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系B₁-xyz，求出平面A₁B₁C的法向量為n=（x，y，z），而n=

NM

，根據(jù)法向量的意義可知MN⊥平面A₁B₁C．

解答：證明：（Ⅰ）證明：連接BC₁，AC₁．
在△ABC₁中，∵M，N是AB，A₁C的中點，∴MN||BC₁．
又∵MN?平面BCC₁B₁，∴MN||平面BCC₁B₁．

（Ⅱ）如圖，以B₁為原點建立空間直角坐標(biāo)系B₁-xyz．
則B₁（0，0，0），C（0，2，2），A₁（-2，0，0），M（-1，0，2），N（-1，1，1）
∴

B1C

=（0，2，2），

A1B1

=(2，0，0)，

NM

=(0，-1，1)．
設(shè)平面A₁B₁C的法向量為n=（x，y，z）．

n• B1C =0 n• A1B1 =0

?

x=0 y=-z

令z=1，則x=0，y=-1，∴n=（0，-1，1）．
∴n=

NM

．∴MN⊥平面A₁B₁C．

點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質(zhì)定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質(zhì)（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．