Question

14、已知函數f（x）=2x²+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若對于任一實數x，f（x）與g（x）的值至少有一個為正數，則實數m的取值范圍是

（-∞，4）

．

Answer 1

分析：不論m為何值，對于任一實數x，f（x）與g（x）的值至少有一個為正數，所以對m分類討論，即m=0、m＜0、m＞0 討論f（x）與g（x）的值的正負，求出滿足題意的m的值．

解答：解：分3類討論 ①m=0 時，對于任意x．g（x）=0 而f（x）=2（x+1）²+2值恒正滿足題意． ②m＜0 時，對于x＜0 時，g （x）＞0 成立，
只需考慮x≥0時的情況，由于函數f（x）=2x²+（4-m）x+4-m，
當-4＜m＜4時，△＜0．故-4＜m＜0 滿足，經檢驗當m=-4 時滿足條件，
m＜-4時，由于對稱軸在y軸左側，故只需滿足f（0）＞0即可，
上式在m＜-4時恒成立，故m＜-4 時條件也滿足 ③當m＞0 時，g （x）＞0 在x＞0 時成立，
故只需考慮x≤0 時f（x）＞0即可，
類似②中討論，0＜m＜4時f（x）＞0 恒成立，
當m≥4時 對稱軸恒在右側．但是f（0）≤0 不滿足條件．綜上所述m取值范圍為m＜4．
故答案為：（-∞，4）

點評：本題考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，考查分類討論思想，轉化思想，是中檔題．