Question

已知函數(shù)f（x）=x³+x．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)多項(xiàng)式函數(shù)的定義域的判定，可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽；
（2）根據(jù)奇偶性的定義，判斷f（-x）與f（x）之間的關(guān)系，即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）利用原始的定義進(jìn)行證明，在（-∞，+∞）上任取x₁，x₂且x₁＜x₂，只要證f（x₂）＞f（x₁）就可以可，把x₁和x₂分別代入函數(shù)f （x）=-x³+x進(jìn)行證明．

解答：解：（1）顯然函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽；（2分）
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．（3分）
因?yàn)閒（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），（6分）
所以f（x）為奇函數(shù)．（7分）
（3）函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．（8分）
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁³+x₁）-（x₂²+x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）=(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

+1]（10分）
由x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0，(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

+1＞0，（11分）
于是f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．（12分）
所以，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：此題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的定義域、奇偶性和單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用定義進(jìn)行證明，是一道基礎(chǔ)題．