Question

已知函數(shù)f（x）=

2

2

（cosx-sinx）sin（x+

π

4

）-2αsinx+b（a＞0）的最大值為1，最小值為-4，求a，b的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）=-（sinx+a）²+a²+b+

1

2

，再根據(jù)的最大值為1，最小值為-4，分類討論求得a，b的值．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

2

2

（cosx-sinx）sin（x+

π

4

）-2αsinx+b=）=

2

2

（cosx-sinx）•

2

2

（cosx+sinx）-2αsinx+b
=

1

2

（cos²x-sin²x）-2asinx+b=-sin²x-2asinx+b+

1

2

=-（sinx+a）²+a²+b+

1

2

，
當(dāng)-a＜-1時，即a＞1時，由題意可得-（-1+a）²+a²+b+

1

2

=1，-（1+a）²+a²+b+

1

2

=-4，求得a=

5

4

，b=-1．
當(dāng)-a∈[-1，0），即 a∈（0，1]時，由題意可得-0+a²+b+

1

2

=1，-（1+a）²+a²+b+

1

2

=-4，求得a=-1，b=-

11

2

．
當(dāng)-a∈[0，1]，即 a∈[-1，0]時，由題意可得-0+a²+b+

1

2

=1，-（-1+a）²+a²+b+

1

2

=-4，求得a、b無解．
當(dāng)-a＞1時，即a＜-1時，由題意可得-（-1+a）²+a²+b+

1

2

=-4，-（1+a）²+a²+b+

1

2

=1，求得a=-

5

4

，b=-1．
綜上可得，a=

5

4

，b=-1；或 a=-1，b=-

11

2

；或 a=-

5

4

，b=-1．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．