Question

已知，．（n∈N^*，a為常數(shù)）
（1）若，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）在（1）條件下，求證：．

Answer 1

證明：（1）∵，
∴，
∵∴，則 ，
∴數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
（2）由（1）知，化簡得
∵，∴要證，只需證2ⁿ≥2n，
證法一：當n=1或2時，有2ⁿ=n，
當n≥3時，
，
∴2ⁿ≥2n對n∈N^*都成立，n=1
∴．
證法二：用數(shù)學歸納法證明，
①當時，結(jié)論顯然成立；n=k+1，
②假設當n=k（k≥1）時結(jié)論成立，即2^k≥2k，
當n=k+1時，2^k+{x_{n+1}}=x_n^2+{x_n}={x_n}（{x_n}+1）1=2•2^k≥2•2k＞2（k+1），，
∴當時結(jié)論也成立
綜合①、②知，對n∈N^*都成立．
分析：（1）由，知，由，知，由此能夠證明數(shù)列是等比數(shù)列．
（2）由（1）知，即，由，知要證，只需證2ⁿ≥2n，由此能夠證明證：．
點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．