Question

已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦點，M為橢圓上動點，有以下四個結(jié)論：
①|(zhì)MF₂|的最大值大于3；
②|MF₁|•|MF₂|的最大值為4；
③若過F₂作∠F₁MF₂的外角平分線的垂線，垂足為N，則點N的軌跡方程是x²+y²=4；
④若動直線l垂直y軸，交此橢圓于A、B兩點，P為l上滿足|PA|•|PB|=2的點，則點P的軌跡方程為

x2

2

+

2y2

3

=1或

x2

6

+

2y2

9

=1．
以上結(jié)論正確的序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：綜合題,壓軸題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①利用橢圓的幾何性質(zhì)，求出|MF₂|的最大值是a+c；
②利用橢圓的幾何性質(zhì)|MF₁|+|MF₂|=2a，結(jié)合基本不等式MF₁|•|MF₂|≤(

|MF1|+|MF2|

2

)2，求出|MF₁|•|MF₂|的最大值；
③利用外角平分線作垂線的幾何特征得出N是線段F₂P的中點，結(jié)合中位線定理得ON的長為定值，從而求得N的軌跡方程；
④設點P的坐標（x，y），依題意得A（x₀，y），B（-x₀，y），由|PA|•|PB|=2求出點P的坐標關系式，代入橢圓方程求出P點的軌跡方程．

解答： 解：對于①，橢圓

x2

4

+

y2

3

=1中，a=2、c=1，∴|MF₂|的最大值是a+c=2+1=3，∴①錯誤；
對于②，|MF₁|+|MF₂|=2a=4，∴|MF₁|•|MF₂|≤(

|MF1|+|MF2|

2

)2=4，∴|MF₁|•|MF₂|的最大值為4，②正確；
對于③，如圖，
延長F₂N與F₁M交于P，連接ON，則點P、F₂關于點N對稱，
∴ON=

1

2

F₁P=

1

2

（MF₁+MF₂）=a=2，
∴動點N的軌跡方程為x²+y²=4；∴③正確；
對于④，設點P的坐標為（x，y），依題意得A（x₀，y），B（-x₀，y），
∵|PA|•|PB|=2，∴|x-x₀|•|x+x₀|=|x²-x02|=2，即x02=x²±2；
代入橢圓方程得

x2±2

4

+

y2

3

=1，
即

x2

2

+

2y2

3

=1（-

3

≤y≤

3

）與

x2

6

+

2y2

9

=1（-

3

≤y≤

3

）；
∴P點的軌跡為兩橢圓

x2

2

+

2y2

3

=1與

x2

6

+

2y2

9

=1夾在兩直線y=±

3

之間的弧長，∴④錯誤；
綜上，正確的命題是②③．
故答案為：②③．

點評：本題考查了橢圓方程的定義與幾何性質(zhì)的綜合應用問題，也考查了一定的推理與計算能力，是綜合題，也是較難的題目．