Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+(a-3)x+lnx．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；
（Ⅱ）方程f(x)=(

1

2

-a)x2+(a-2)x+2lnx．有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，有f′（x₀）=

y1-y2

x1-x2

成立？若存在，請(qǐng)求出x₀的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（I）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立或小于等于0恒成立，分離出a，利用基本不等式求出a的范圍，從而求出a的最小值．
（Ⅱ）由f(x)=(

1

2

-a)x2+(a-2)x+2lnx=0，得a=

lnx+x

x2

，令r（x）=

lnx+x

x2

，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性及最值，從而得出要使y=

lnx+x

x2

與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（III）利用兩點(diǎn)連線的斜率公式求出k并且化簡(jiǎn)k，求出f′（x₀）列出方程，通過換元構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，得到矛盾．

解答：解：（Ⅰ）f/(x)=x+a-3+

1

x

(x＞0)．（2分）
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞增，
則f′（x）≥0對(duì)x＞0恒成立，即a≥-(x+

1

x

)+3對(duì)x＞0恒成立，
而當(dāng)x＞0時(shí)，-(x+

1

x

)+3≤-2+3=1．
∴a≥1．
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上遞減，
則f′（x）≤0對(duì)x＞0恒成立，即a≤-(x+

1

x

)+3對(duì)x＞0恒成立，
這是不可能的．
綜上，a≥1．
a的最小值為1．（6分）
（Ⅱ）由f(x)=(

1

2

-a)x2+(a-2)x+2lnx=0，
得：(a-

1

2

)x2+(2-a)x=2lnx，
即：a=

lnx+x

x2

，令r（x）=

lnx+x

x2

，r′（x）=

( 1 x +1)x2-2x(lnx+x)

x4

=

1-x-2lnx

x3

得1-x-2lnx=0的根為1，
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，r′（x）＞0，則r（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時(shí)，r′（x）＜0，則r（x）單調(diào)遞減，
所以r（x）在x=1處取到最大值r（1）=1，
又x→0時(shí)r（x）→0，又x→+∞時(shí)，r（x）→0，
所以要使y=

lnx+x

x2

與y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則有 0＜a＜1                                       …8分
（III）假設(shè)存在，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂.k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

1 2 x 2 1 +(a-3)x1+lnx1- 1 2 x 2 2 -(a-3)x2-lnx2

x1-x2

=x0+(a-3)+

ln x1 x2

x1-x2

．（9分）
f/(x0)=x0+(a-3)+

1

x0

．
若k=f′（x₀），則

ln x1 x2

x1-x2

=

1

x0

，即

ln x1 x2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x1

x2

=

2 x1 x2 -2

x1 x2 + 1

．（*）（12分）
令t=

x1

x2

，u(t)=lnt-

2t-2

t+1

（0＜t＜1），
則u′(t)=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0．∴u（t）在0＜t＜1上是增函數(shù)，
∴u（t）＜u（1）=0，
∴（*）式不成立，與假設(shè)矛盾．∴k≠f′（x₀）．
因此，滿足條件的x₀不存在．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、存在性問題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決是否存在這種探索性的問題，常假設(shè)存在去求，若求出則存在，若求不出則不存在．