Question

已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=x³-ax²（x∈R）．
（1）若f′（1）=5，求a的值及曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用f′（1）=5，確定a的值，從而可得切點坐標(biāo)，即可求得切線的方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=3x²-2ax，
∵f′（1）=5，∴3-2a=5，∴a=-1
又當(dāng)a=-1時，f（x）=x³+x²，∴f（1）=2，
所以，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-2=5（x-1），即y=5x-3．（5分）
（2）令f′（x）=3x²-2ax，解得x₁=0，x₂=

2a

3

，
當(dāng)

2a

3

≤0，即a≤0時，在（0，2）上f′（x）＞0，f（x）在[0，2]上為增函數(shù)，∴f（x）_max=f（2）=8-4a；
當(dāng)

2a

3

≥2，即a≥3時，在（0，2）上f′（x）＜0，f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，∴f（x）_max=f（0）=0；
當(dāng)0＜

2a

3

＜2，即0＜a＜3時，在（0，

2a

3

）上f′（x）＜0，在（

2a

3

，2）上f′（x）＞0，
故f（x）在[0，

2a

3

]上為減函數(shù)，在[

2a

3

，2]上為增函數(shù)，
故當(dāng)f（2）≥f（0），即8-4a≥0，即0＜a＜2時，f（x）_max=f（2）=8-4a；
當(dāng)f（2）＜f（0），即8-4a＜0，即2＜a＜3時，f（x）_max=f（0）=0，
綜上所述，f（x）=

8-4a，a≤2 0，a＞2

      （13分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查切線方程，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．