Question

16．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，在區(qū)間[-2，2]有最小值-3
（1）求實(shí)數(shù)a的值，
（2）求函數(shù)的最大值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，對稱軸為x=-a，對稱軸進(jìn)行分區(qū)間討論，找出f（x）最小值時(shí)x的取值；
（2）由（1）知要使得f（x）最小值為3，對稱軸須在[-2，2]內(nèi)，再分別求出最大值；

解答 解：函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，對稱軸為x=-a；
（1）①當(dāng)-a≤-2時(shí)，即a≥2：f（x）_min=f（2）=-3⇒a=1，故舍去；
②當(dāng)-a≥2時(shí)，即a≤-2：f（x）_min=f（-2）=-3⇒a=-$\frac{1}{3}$，故舍去；
③當(dāng)-2＜-a≤0時(shí)，即：0≤a＜2：f（x）_min=f（2）=-3⇒a=1，滿足題意；
④當(dāng)0＜-a≤2時(shí)，即：-2≤a＜0：f（x）_min=f（-2）⇒a=-$\frac{1}{3}$，滿足題意；
綜上，函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+a，在區(qū)間[-2，2]有最小值-3時(shí)，a=1或-$\frac{1}{3}$；
（2）當(dāng)-2＜-a≤0時(shí)，a=1，所以f（x）=-$\frac{1}{2}$x²-x+1，f（x）_max=f（-a）=f（-1）=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)0＜-a≤2時(shí)，a=$-\frac{1}{3}$，所以f（x）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{1}{3}x$-$\frac{1}{3}$，f（x）_max=f（-a）=f（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{5}{18}$；

點(diǎn)評 本題主要考查了二次函數(shù)的圖形特征，以及分類討論思想的應(yīng)用，屬中等題．