已知函數(shù)f(x)=
(1)當x∈[-2,2]時,求使f(x)<a恒成立的a的取值范圍;
(2)若方程x2-2ax-1=0的兩根為α,β,證明:函數(shù)f(x)在[α,β]上是單調函數(shù).
【答案】分析:(1)由f(x)<a得,分離出參數(shù)a后轉化為求函數(shù)的最值即可,由g(x)的符號變化規(guī)律可知只需求g(x)在x∈(0,2]的最大值,利用單調性可求;
(2)定義法:設α≤x1<x2≤β,則,兩式相加可得,利用作差法可證明f(x2)>f(x1);
解答:解:(1)由f(x)<a得,即4x-4a<ax2+4a,
時恒成立.      
,
由于x=0時,g(x)=0;x∈[-2,0)時,g(x)<0;x∈(0,2]時,g(x)>0,
故求函數(shù)在x∈[-2,2]上的最大值,只需求g(x)在x∈(0,2]的最大值,
,可證明在x∈(0,2]上是減函數(shù),
當x=2時y=x+取得最小值,g(x)取得最大值為,
.           
(2)設α≤x1<x2≤β,則,

,
又a(x1+x2)-x1x2+4>a(x1+x2)-x1x2+1>0,
∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),
故f(x)在區(qū)間[α,β]上是增函數(shù).
點評:本題考查函數(shù)恒成立問題、單調性的判斷,考查轉化思想,單調性的證明應嚴格論證,方法有定義法、導數(shù)法.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調,求實數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為(  )
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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