Question

（2012•藍山縣模擬）在高三年級某班組織的歡慶元旦活動中，有一項游戲規(guī)則如下：參與者最多有5次抽題并答題的機會．如果累計答對2道題，立即結束游戲，并獲得紀念品；如果5次機會用完仍未累計答對2道題，也結束游戲，并不能獲得紀念品．已知某參與者答對每道題答對的概率都是

2

3

，且每道題答對與否互不影響．
（1）求該參與者獲得紀念品的概率；
（2）記該參與者游戲時答題的個數為ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）設“參與者獲得紀念品”為事件A，求出其對立事件的概率，即可得到結論；
（2）ξ的可能取值為2，3，4，5，求出相應的概率，即可得到ξ的分布列及期望．

解答：解：（1）設“參與者獲得紀念品”為事件A，則
P（A）=1-P

(A)

=1-[（

1

3

）⁵+

C

1 5

（

1

3

）⁴（

2

3

）]=

232

243

．（4分）
故該參與者獲得紀念品的概率為

232

243

．（5分）
（2）ξ的可能取值為2，3，4，5，
P（ξ=2）=（

2

3

）²=

4

9

；P（ξ=3）=

C

1 2

2

3

•

1

3

•

2

3

=

8

27

；
P（ξ=4）=

C

1 3

2

3

（

1

3

）²

2

3

=

4

27

；P（ξ=5）=

C

1 4

（

2

3

）（

1

3

）³+

C

0 4

（

1

3

）⁴=

1

9

．（8分）
故ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5
P	4 9	8 27	4 27	1 9

Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列與期望，理解變量的取值及含義是關鍵．