Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=時，判斷方程f（x）=-的實數(shù)根的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）題目中條件：“在R上有兩個極值點”，即導(dǎo)函數(shù)有兩個零點．從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f′（x）=0的實根的分布問題，利用二次函數(shù)的圖象令判別式大于0在-1處的函數(shù)值大于0即可．
（2）由a=可知x₁=-，x₂=-，從而知函數(shù)f（x）在（-1，-）上單調(diào)遞增，在（-，-）上單調(diào)遞減，在（-，+∞）上單調(diào)遞增．下面分別討論函數(shù)f（x）在（-1，-]和在（-，-）上實根的情況，即可證得方程f（x）=-有且只有一個實數(shù)根．
解答：解：（1）由題意，1+x＞0
由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′（x）=2x+=．
∵f（x）=ax³+x恰有有兩個極值點，
∴方程f′（x）=0必有兩個不等根，
即2x²+2x+a=0的兩個均大于-1的不相等的實數(shù)根，其充要條件為，
解得0＜a＜；

（2）由a=可知x₁=-，x₂=-，從而知函數(shù)f（x）在（-1，-）上單調(diào)遞增，在（-，-）上單調(diào)遞減，在（-，+∞）上單調(diào)遞增．
①由f（x）在（-1，-]上連續(xù)、單調(diào)遞增，且
f（-）=（-）²+ln（-+1）=-ln2＞-，
以及f（-1+）=（-1+）²+ln（）=--+＜-，故方程f（x）=-
在（-1，-]有且只有一個實根；
②由于f（x）在（-，-）上單調(diào)遞減，在（-，+∞）上單調(diào)遞增，因此f（x）在（-，+∞）上的最小值，
f（-）=（-）²+ln（-+1）=-+ln＞-，故方程f（x）=-在（-，+∞）沒有實數(shù)根．
綜上可知，方程f（x）=-有且只有一個實數(shù)根．
點評：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、極值等基礎(chǔ)、根的存在性及根的個數(shù)判斷等基本知識，考查計算能力，屬于中檔題．