Question

如果n=

8

π

∫

π 0

sin2xdx則（1+2x）（1-x）ⁿ展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)為

-2

．

Answer 1

分析：根據(jù)定積分的計(jì)算方法，計(jì)算n=

8

π

∫

π 0

sin2xdx可得n的值，進(jìn)而將n=4代入（1+2x）（1-x）ⁿ中，再分2種情況討論其展開(kāi)式中產(chǎn)生x²項(xiàng)的情況，計(jì)算可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，n=

8

π

∫

π 0

sin2xdx=

8

π

∫₀^π（

1-cos2x

2

）dx=

8

π

×

1

2

（x-

sin2x

2

）|₀^π=4，
則（1+2x）（1-x）⁴中，x²項(xiàng)產(chǎn)生有2種情況，
①（1+2x）中出常數(shù)項(xiàng)，（1-x）⁴中出x²項(xiàng)，x²項(xiàng)的系數(shù)為1×C₄²（-1）²，
②（1+2x）與（1-x）⁴中，都出x項(xiàng)，x²項(xiàng)的系數(shù)為2×C₄³（-1），
則其展開(kāi)式中x²的系數(shù)為1×C₄²（-1）²+2×C₄³（-1）=-2；
故答案為-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用以及定積分的計(jì)算，關(guān)鍵是由定積分的計(jì)算得到n的值．