Question

已知f（x）是一次函數(shù)，且f（0）=3，f（1）=5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若當(dāng)-2≤x≤1時，函數(shù)f（x）+3tx+t＞0恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)是一次函數(shù)，則設(shè)出其解析式，再由條件代入求解．
（2）當(dāng)-2≤x≤1時，函數(shù)f（x）+3tx+t＞0恒成立，可轉(zhuǎn)化為（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=（3t+2）x+t+3，知g（x）的圖象在-2≤x≤1上是一條線段，因此有

g(-2)＞0 g(1)＞0

⇒

-5t-1＞0 4t+5＞0

，從而
可求實數(shù)t的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=kx+b（k≠0）（2分）
由

f(0)=b=3 f(1)=k+b=5

⇒

b=3 k=2

⇒f(x)=2x+3（6分）
（2）由f（x）+3tx+t＞0在-2≤x≤1上恒成立，
得（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立（8分）
令g（x）=（3t+2）x+t+3，知g（x）的圖象在-2≤x≤1上是一條線段，
只需線段的兩端點在x軸的上方（10分）
因此要（3t+2）x+t+3＞0在-2≤x≤1上恒成立，
只要：

g(-2)＞0 g(1)＞0

⇒

-5t-1＞0 4t+5＞0

（12分）
得：-

5

4

＜t＜-

1

5

（14分）

點評：本題主要考查求函數(shù)解析式以及恒成立問題的處理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．