Question

3．已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=5，直線l：x=y+m（m∈R）交圓C于點A，B，點O為坐標(biāo)原點．
（1）當(dāng)m=-1時，求△OAB的面積；
（2）是否存在正實數(shù)m，使得△OAB為銳角三角形，若存在，試求出m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=-1時，y=x+1，求出交點A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得求△OAB的面積；
（2）是否存在正實數(shù)m，使得△OAB為銳角三角形，則直線l：x-y-m=0與圓心（0，1）的距離d滿足：d=$\frac{|-1-m|}{\sqrt{2}}＞\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{10}}{2}$，且d＜r，進(jìn)而得到答案．

解答 解：（1）當(dāng)m=-1時，y=x+1，代入x²+（y-1）²=5，可得x=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
則A，B的坐標(biāo)分別為：（$\frac{\sqrt{10}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1），（-$\frac{\sqrt{10}}{2}$，-$\frac{\sqrt{10}}{2}$+1）
∴△OAB的面積=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$；
（2）若△OAB為銳角三角形，
則直線l：x-y-m=0與圓心（0，1）的距離d滿足：
d=$\frac{|-1-m|}{\sqrt{2}}＞\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
且d＜r
即$\sqrt{5}$＜|-1-m|＜$\sqrt{10}$
解得：-$\sqrt{10}$-1＜m＜-$\sqrt{5}$-1，或$\sqrt{5}$-1＜m＜$\sqrt{10}$-1，
故存在正實數(shù)m∈（$\sqrt{5}$-1，＜$\sqrt{10}$-1）使得△OAB為銳角三角形．

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離，三角形面積，難度中檔．