Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a．
（1）求點(diǎn)C₁到平面AB₁D₁的距離；
（2）求平面CDD₁C₁與平面AB₁D₁所成的二面角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，求出平面AB₁D₁的法向量

n

，則C₁到平面AB₁D₁的距離d=

| C1A • n |

| n |

，代入即可求出點(diǎn)C₁到平面AB₁D₁的距離；
（2）求出平面CDD₁C₁的一個(gè)法向量

n1

，結(jié)合（1）中平面AB₁D₁的法向量

n

，代入向量夾角公式，即可求出二面角的平面角的余弦值，進(jìn)而得到平面CDD₁C₁與平面AB₁D₁所成的二面角的大小．

解答：解：（1）按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，可得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，0，0）、D₁（0，a，a）、B₁（a，0，a）、C₁（a，a，a）
，向量

C1A

=(-a，-a，-a)，

AD1

=(0，a，a)，

AB1

=(a，0，a)
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面AB₁D₁的法向量，于是，有

n • AD1 =0 n • AB1 =0

，
即

ay+az=0 ax+az=0

．
令z=-1，得x=1，y=1．
于是平面AB₁D₁的一個(gè)法向量是

n

=(1，1，-1)．（5分）
因此，C₁到平面AB₁D₁的距離d=

| C1A • n |

| n |

=

3

3

a（8分）
（2）由（1）知，平面AB₁D₁的一個(gè)法向量是

n

=(1，1，-1)．又因AD⊥平面CDD₁C₁，故平面CDD₁C₁的一個(gè)法向量是

n1

=(0，1，0)．（10分）
設(shè)所求二面角的平面角為θ，則cosθ=

| n • n1 |

| n || n1 |

=

3

3

．（13分）
所以，平面CDD₁C₁與平面AB₁D₁所成的二面角為arccos

3

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，點(diǎn)到平面的距離，其中（1）的關(guān)鍵是求出平面AB₁D₁的法向量

n

，然后代入d=

| C1A • n |

| n |

中求解，（2）的關(guān)鍵是求出平面CDD₁C₁的一個(gè)法向量

n1

和平面AB₁D₁的法向量

n

，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題．