Question

已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值；
（2）若方程2lnx+mx-x³=0在區(qū)間[

1

e

，e]內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得和的單調(diào)區(qū)間，從而可求函數(shù)的最值．
（2）方程2xlnx+mx-x³=0化為-m=2lnx-x²，由f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最大值為-1，f（

1

e

）=-2-

1

e2

，f（e）=2-e²，f（e）＜f（

1

e

）．知f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值為-2-

1

e2

．由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

2(1-x)(1+x)

x

（x＞0）
∵x＞0，∴令f′（x）＞0，可得0＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大值為-1，無(wú)最小值．
（2）方程2xlnx+mx-x³=0化為-m=2lnx-x²，由（1）知，f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最大值為-1，f（

1

e

）=-2-

1

e2

，f（e）=2-e²，f（e）＜f（

1

e

）．
∴f（x）在區(qū)間[

1

e

，e]上的最小值為-2-

1

e2

．
故-m=2lnx-x²在區(qū)間[

1

e

，e]上有兩個(gè)不等實(shí)根需滿足-2-

1

e2

≤-m＜-1，
∴1＜m≤2+

1

e2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，2+

1

e2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵，屬于中檔題．