已知函數(shù)f（x）=2數(shù)學(xué)公式sinxcosx+2cos2x-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，數(shù)學(xué)公式]上有解，求t的取值范圍；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C所對的邊，若t=3，且f（A）=-1，b+c=2，求a的最小值．

解：（I）∵sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）
∴f（x）=2sinxcosx+2cos2x-t=sin2x+cos2x+1-t
=2（sin2xcos+cos2xsin）+1-t=2sin（2x+）+1-t
當(dāng)x∈[0，]時，2x+∈[，]，可得-≤sin（2x+）≤1
∴方程f（x）=0有解，即，解之得0≤t≤3；
（II）∵t=3，
∴f（x）=2sin（2x+）+1-t=2sin（2x+）-2
可得f（A）=2sin（2A+）-2=-1，sin（2A+）=
∵A是三角形的內(nèi)角，∴A=
根據(jù)余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos=（b+c）2-3bc
∵b+c=2，可得bc≤（）2=1
∴a2=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3=22-3=1
即當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時，a的最小值為1．
分析：（I）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得2sin（2x+）+1-t，結(jié)合正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)，根據(jù)f（x）=0在x∈[0，]上有解建立關(guān)于t的不等式組，解之即可得到實數(shù)t的取值范圍；
（II）由（I）得到f（A）=2sin（2A+）-2=-1，結(jié)合A是三角形的內(nèi)角解出A=．結(jié)合余弦定理得a2關(guān)于b、c的式子，最后利用基本不等式求最值，可得當(dāng)且僅當(dāng)b=c=1時，a的最小值為1．
點評：本題給出三角函數(shù)式，探索方程f（x）=0在x∈[0，]上有解時t的取值范圍，并依此求三角形的邊長的最小值，著重考查了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理和基本不等式等知識，屬于中檔題．
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1
x
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選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5，若函數(shù)f（x）的最小值為m
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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